Елибаев родился в 1984 году. Окончил Казахский экономический университет имени Рыскулова по специальности «Финансы и бухгалтерский учёт», а также London Business School в рамках международной программы «Болашақ», где получил степень магистра финансов. Является членом Президентского молодёжного кадрового резерва.
Трудовую деятельность начал в 2004 году в компании «большой четвёрки» Deloitte, проводил аудит проектов в отраслях металлургии, горнодобывающей промышленности, нефти и газа, транспорта и логистики, а также государственных компаний.
С 2007 по 2010 годы продолжил карьеру в компании PricewaterhouseCoopers в качестве менеджера по слияниям и поглощениям.
После занимал должность инвестиционного директора/вице-президента в компании CITIC Kazyna Investment Fund I L.P. С 2014 года занимал должность главного банкира департамента энергетики Евразия, Средний Восток и Африка Европейского банка реконструкции и развития (ЕБРР), был ответственным за развитие программы по возобновляемым источникам энергии в Казахстане.
В марте 2022 года назначен заместителем председателя правления БРК.
Марат Елибаев на новом посту сменил Байбазарова Нурлана Сериковича, который 5 октября 2023 года был назначен председателем правления НУХ «Байтерек».
